1、函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

2、函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

【资料图】

3、其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

4、函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。

5、之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

6、元素输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。

7、函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。

8、注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。

9、计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。

10、因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。

11、另一方面，值域是和实际的实现有关。

12、一、 函数的定义 函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

13、我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

14、函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

15、符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。

16、y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

17、对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

18、这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

19、由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

20、其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

21、y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。

22、至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

23、函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。

24、当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。

25、因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。

26、只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：1）定义域不同，两个函数也就不同；2）对应法则不同，两个函数也是不同的；3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

27、例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。

28、也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

29、定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。

30、由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。

31、两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

32、例如：在①y＝x与 ，② 与 ，③y＝x＋1与 ，④y＝x0与y＝1，⑤y＝｜x｜与 这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

33、f（x）与f（a）的区别与联系f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量。

34、而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。

35、如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一常数。

36、当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

37、比如f（x）＝x2＋1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1，左端表示对x＋1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x＋1的函数解析式。

38、函数的定义域：定义：原象的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，即自变量的允许值范围。

39、当函数用解析式给出时，定义域就是使式子有意义的自变量的允许值的集合。

40、求定义域：求定义域的三种基本方法：一是依据函数解析式中所包含的运算（除法、开平方等）对自变量的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；二是依据确定函数y＝f（x）的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；三是根据问题的实际意义，规定自变量的取值范围，求得定义域。

41、如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合。

42、对含参数的函数求定义域（或已知定义域，求字母参数的取值范围）时，必须对参数的取值进行讨论。

43、当函数由实际问题给出时，其定义域由实际问题确定。

44、函数的值域： 定义：象的集合C（C B）叫做函数y＝f(x)的值域，即函数值的变化范围。

45、求值域的基本方法：依据各类基本函数的值域，通过不等式的变换，确定函数值的取值范围，在这一过程中，充分利用函数图像的直观性，能有助于结论的得出和检验。

46、从定义域出发，利用函数的单调性，是探求函数值域的通法这样可以么？设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

47、我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

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